Instrumentos de Medición de Vibraciones

Este es el modelo simplificado aplicable a los tres tipos de medidores: los que miden aceleración, los que miden velocidad y los que miden desplazamiento. La mayoría de los instrumentos de medición consisten un una estructura externa o contenedor y en el interior un sistema masa-resorte-amortiguador como se aprecia.

A la masa m, se le suele llamar masa sísmica. Se entiende por instrumento sísmico a aquél, en el cual el movimiento vibratorio es medido de forma relativa, respecto a la masa de un sistema elástico fijo. Si decimos que el desplazamiento del contenedor del dispositivo (que es el mismo de la base) en función del tiempo es y(t), el movimiento relativo de la masa m respecto al contenedor es z(t), de esta forma el movimiento absoluto de la masa en función del tiempo será:

Donde z(t) es el desplazamiento que puede ser medido y y(t) se puede inferir a partir de la respuesta z(t). Si escribimos la ecuación diferencial para el movimiento del dispositivo obtendremos:

El primero término de esta ecuación representa la fuerza de inercia de la masa m, y en esta interviene la aceleración absoluta del cuerpo, por tanto como x(t)=y(t)+z(t), sustituimos la segunda derivada de x(t) en la ecuación anterior y obtendremos:

Esta ecuación describe el movimiento forzado del sistema representado ante una excitación y(t), como sabemos la respuesta a esta ecuación estará formada por la solución homogénea la cual desaparece al transcurrir el tiempo, y la solución particular que es la que permanece en estado estable. Si consideramos la excitación como una función armónica del tipo:

Sustituimos su segunda derivada en la ecuación diferencial anterior tendremos que:

En donde k/m=ωn² y c/m=2ξωn, como sabemos de un sistema de segundo orden, siendo ωn la frecuencia natural del sistema y ξ el factor de amortiguamiento.

La solución particular de esta ecuación ante la excitación armónica tendrá la misma forma armónica de la excitación y la misma frecuencia ω, así que la respuesta particular del sistema será:

Donde Z y ϕ son la amplitud y el ángulo de fase que necesitamos determinar para obtener la función de la respuesta del sistema ante la excitación. Para ello sustituimos la primera y segunda derivada de la respuesta en la ecuación diferencial anterior de la siguiente manera:

Si hacemos que α = ωt - ϕ y por ende ωt = α + ϕ, entonces nos queda:

Aplicando la identidad cos(α+ϕ) = cosα∙cosϕ - sinα∙sinϕ tenemos:

Si vemos para que se cumpla la igualdad los coeficientes que acompañan el coseno y seno de α en ambos lados de la ecuación deben ser iguales quedando de la siguiente manera:

Si dividimos la segunda ecuación entre la primera obtendremos una expresión para el ángulo ϕ que necesitábamos:

Por otro lado si despejamos el coseno y seno de ϕ de las ecuaciones anteriores, las elevamos al cuadrado y las sumamos obtendremos una expresión para la amplitud Z que nos hacía falta.

Finalmente

Ya con esta ecuación y con la medición del desplazamiento relativo de la masa m, o el valor de la amplitud Z, podemos inferir el valor del desplazamiento de la base, también si conocemos la frecuencia de excitación ω, con este dispositivo se puede tanto medir el desplazamiento, como la velocidad y la aceleración si derivamos correctamente la expresión de la excitación que encontramos para y(t).